Logika Matematika

A. PERNYATAAN

Kalimat ada 2 macam :

1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 3x + 5 = 10

1. Kalimat tertutup ( pernyataan ) adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 5 + 6 = 11

B. NEGASI , DISJUNGSI , KONJUNGSI , IMPLIKASI , BIIMPLIKASI

Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan , jika sutau pernyataan bernila benar , maka ingkarannya bernilai salah, begitu pula jika pernyataan bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Simbolnya : ~

Disjungsi adalah operasi logika “ atau “ symbol : V, suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau’  akan bernilai salah, jika kedua pernyataanya bernilai salah. Sedangkan lainnya benar.

Konjungsi adalah operasi logika “ dan “ symbol : Λ , suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “dan” akan bernilai benar Jika nilai kedua pernyataanya bernilai benar. Sedangkan lainnya salah.

Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah , jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.

Biimplikasi adalah operasi logika “jika dan hanya jika” atau implikasi dua arah. Symbol  “ó” ,Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh “jika dan hanya jika’ akan bernilai benar jika kedua pernyataanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

C. TABEL KEBENARAN

p	q	~ p	pVq	p Λq	p => q	pó q
B	B	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	B	S	B	S
S	S	B	S	S	B	B

D. TAUTOLOGI , KONTRADIKSI , DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya benar (“B”) semua..

Contoh : (pΛq) => q

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya  salah (“S”) semua.

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen , jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

~(pVq) ≡ ~p Λ ~q

~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

~(p=>q) ≡ p Λ ~q

E. IMPLIKASI

Implikasi               : p => q

Contoh :

Implikasi   : Jika saya ke Bandung , maka saya membeli sepatu.

F.FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN

            Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

Contoh :

1. Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

2. Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

G. EKUIVALENSI LOGIKA

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1. Hukum komutatif:

p ʌ q q ʌ p

p v q q v p

2. Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r p v (q v r)

3. Hukum distributif:

p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r)

4. Hukum identitas:

p ʌ T p

p v F p

5. Hukum ikatan (dominasi):

P v T T

P v F F

6. Hukum negasi:

P v ~p T

P ʌ ~p F

7. Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p) p

8. Hukum idempoten:

P ʌ p p

p v p p

9. Hukum de morgan:

~( p ʌ q) ~p v ~q

~(p v q) ~p ʌ ~q

10.Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q) p

P ʌ (p v q) p

11.Hukum T dan F:

~T F

~F T

12.Hukum implikasi ke and/or:

P q ~p v q[5]