PENGERTIAN,PENULISAN DAN MACAM HIMPUNAN
A. PENGERTIAN
HIMPUNAN
Himpunan merupakan kumpulan
benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara
jelas atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta
mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.
Contoh himpunan:
- Kumpulan
kata dalam kamus
- Kumpulan
buku dalam perpustakaan
Sifat keterikatan yang ada dalam
kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:
1. Setiap
objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam
unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.
2. Dapat
dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.
Contoh:
Umum: - himpunan
mahasiswa ikip pgri bali yang namanya mulai dari huruf A.
-himpunan
binatang berkaki 2
` -ilmu
geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik.
Khusus:
- himpunan bilangan positif
-himpunan
bilangan real yang x≤5004
-himpunan
asli yang 2 <x<60
Lambang himpunan biasa ditulis
sebagai berikut: “A” = { }
ɛ
= elemen / unsure
B. MENYATAKAN
ATAU MENULIS SUATU HIMPUNAN
1. Cara
pendaftaran
Suatu cara yang dipergunakan untuk
menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan
tersebut.
Contoh : - himpunan bilangan bulat
yang kurang dari sama dengan 18,
ditulis B= {0,1,2,3,...}
-himpunan binatang berkaki 4,
ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}
2. Cara
pencirian
Suatu cara yang dipakai untuk
menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap
elemen / unsur himpunan tersebut.
Contoh: - himpunan bilangan
real yang 2,005<x≤10,11
Dinyatakan
dalam bentuk pencirian menjadi R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}
-himpunan bilangan bulat,
dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}
C. JUMLAH
UNSUR SUATU HIMPUNAN
Banyaknya
elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di
beri simbol “ N(A)”= kardinal.
Contoh
:
1. A=
{a,i,u,é,o,e}
“N(A)”= 6
2. B=
{-2,-1,0,1,2,3,4}
“N(A)”=7
D. MACAM-MACAM
HIMPUNAN
1. Himpunan
Kosong
Himpunan yang tidak memiliki elemen
atau unsur. Simbol himpunan kosong
i. { }
ii. Ф
atau Ǿ
Contoh : - himpunan nama hari yang
diawali huruf z
-himpunan
bilangan bulat 4<x<5
Jika
ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}
2. Himpunan
Bagian
Jika A adalah himpunan, B juga
himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan A
dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.
Simbol : “C”
Contoh :
1. A={1,3,5,7}
B=Himpunan bilangan bulat positif yang
kurang dari 25
Jadi ACB
2. D={0,1,2,3,4}
E={0,1,2,3,4}
Jadi DCE merupakan himpunan bagian
biasa.
3. Himpunan
Bagian Sejati
Jika A adalah suatu himpunan dan B
juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang
sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam
himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada
dalam himpunan A.
Contoh :
1. A=
{1,3,5,7}
B=Himpunan bilangan bulat positif
yang kurang dari 25
Jadi ACB adalah himpunan bagian
sejati
4. Himpunan
berhingga
Suatu himpunan yang elemen unsur/
anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga banyaknya.
Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara
keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota
akhirnya.
Contoh :
1. A=himpunan
bilangan bulat positif < 2000
Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}
5. Himpunan
Tak Berhingga
Suatu himpunan yang elemen / unsur
maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk
menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis
elemen awal dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.
Contoh:
1. Himpunan
bilangan asli
Jadi A= {1,2,3,...}
2. Himpunan
bilangan bulat
Jadi B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}
6. Himpunan
Semesta(S)
Suatu himpunan yang elemen/unsur
anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan
itu sendiri.
Contoh :
1. A=
himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar
B= Himpunan suatu kurva yang saling
berpotongan dalam suatu bidang datar
Jadi himpunan semesta adalah
kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar
7. Himpunan
Complument ( Ac)
Jika S adalah himpunan semesta dan A
merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu
himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada
himpunan A itu sendiri.
8. Himpunan
Bersandi
Jika A dalah himpunan dan B juga
himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi dari himpunan B
jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen
dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.
Contoh ;
1. A=
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
B= {5,7,9,11,13,15,17}
Jadi A bersandi B= {5,7,9}
9. Himpunan
Lepas
Jika A adalah suatu Himpunan dan B
juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya
jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling
bersekutu.
Contoh:
1. A
= {x/x bilangan ganjil}
B = {x/x bilangan genap}
Jadi A himpunan lepas B
10. Himpunan
Sama
Jika A suatu himpunan dan b juga
merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan
himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A
dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka
dikatakan himpunan sama.
Contoh :
1. A={a,i,u,e,o}
B={u,e,o,a,i}
Jadi A=B
2. C={0,1,2,3,4,5,6}
D= {Himpunan Bilangan bulat positif
yang kurang dariu dan sama dengan 6}
Jadi C=D
11. Himpunan
Sederajat
Jika A merupakan suatu himpunan dan
b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat
dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah
bilangan kardinal.
Contoh ;
1. A={a,b,c,d,e,f,g}
B={0,1,2,3,4,5,6}
N(A)= 7
N(B)=7
N(A)=N(B)
Jadi A sederajat dengan B
DIAGRAM VENN
|
Pernyataan
|
Diagram
|
|
|
1
|
Himpunan Semesta U
|
 |
|
2
|
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
|
 |
|
3
|
ATU
|
 |
|
4
|
ATU
BTA
BTU
|
 |
|
5
|
A = B
|
 |
|
6
|
CTBTATU
Contoh {Bilangan Asli}
A = {1,2,3,... 10}
B = {1,3,5,9}
C = {1,3}
|
 |
HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA
SKEMA
BILANGAN
Macam-Macam Bilangan:
1. Bilangan kompleks
a) Bilangan Kompleks adalah
suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan
imajiner. Bilagan komplek dinyatakan dengan a + bi, a e R,
b e R. Contohnya : 3 + 4i, 5 – 7i.
b) Himpunan
bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan
bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² =
-1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. Himpunan bilangan riil
yang kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan bilangan
kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks
terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian imajener (khayal).
2. Bilangan
Real
Bilangan
nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis
bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan
–bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang
termasuk dalam bilangan nyata.
Dan merupakan suatu bilangan yang terdiri dari
bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya
disajikan dengan sebuah garis bilangan.
3. Bilangan Imajiner
Bilangan
imajiner adalah apabila sebuah bilangan bukan merupakan bilangan
nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional
maupun irasional), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner.
Himpunan
bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i
(satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² =
-1
4. Bilangan Rasional
Bilangan
rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk
pecahan di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah
bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan .
5. Bilangan Irasional
Bilangan
irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan
yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak
dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.
6. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang
terdiri dari bilangan
• Bulat
positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
• Nol
: 0
• Bulat
Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Di dalam bilangan bulat
terdapat bilangan genap dan ganjil :
• Bilangan bulat
genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
Bilangan
yang habis dibagi dengan 2
• Bilangan bulat
ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
Bilangan
yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
7. Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau
lebih dari utuh.
- Terdiri dari pembilang
dan penyebut.
- Pembilangan merupakan
bilangan terbagi.
- Penyebut merupakan
bilangan pembagi
Macam-macam pecahan ;
a. Pecahan
biasa
Bilangan pecahan yang hanya terdiri
atas pembilang dan penyebut.
b. Pecahan
Campuran
Bilangan pecahan yang terdiri atas
bilangan utuh, pembilang dan penyebut.
c. Pecahan
Desimal
Merupakan bilangan yang didapat dari
hasil pembagian suatu bilangan dengan.
10, 100, 1.000, 10.000 dst.
d. Pecahan
Persen
Persen artinya perseratus.
Merupakan suatu bilangan dibagi dengan
seratus.
e. Pecahan
Permil
Permil artinya perseribu.
Merupakan suatu bilangan dibagi seribu
Ditulis dengan tanda ‰
8. Bilangan
Cacah
a. Menurut
Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan cacah adalah satuan dalam
sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”.
“Himpunan bilangan cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan
cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).
b. Menurut
Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja
(1997: 99) mengemukakan bahwa bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai
bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Jika
suatu himpunan yang karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota sama
sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan
dinyatakan dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri atas
satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah “satu” dan
dinyatakan dengan lambang “1”.Demikian seterusnya sehingga kita mengenal
barisan bilangan hasil pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambang
sebagai berikut :
0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . .
(Tanda
“. . .” hendaknya diartikan sebagai “dan seterusnya” )
c. Menurut
ST. Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan bahwa “bilangan cacah
adalah himpunan bilangan yang terdiri atas semua bilangan asli dan bilangan
nol”.
9. Bilangan Asli
Bilangan
asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan
termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia.
Himpunan bilangan asli Bilangan
asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan
asli dimulai dari 1,2,3,4,...dilambangkan
dengan huruf A, dan ditulis A = (1,2,3,4,…)
10. Bilangan Prima
Bilangan
prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan 1 dan bilangan
itu sendiri. Contoh: bilangan 17 hanya dapat dibagi 1 dan 17. Semua
anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.
11. Bilangan Komposit
Bilangan
komposit adalah bilangan
asli lebih besar dari 1 yang bukan
merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan
sebagai faktorisasi
bilangan bulat,
atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit
yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga
disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
BILANGAN BULAT DAN RIIL
●Bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari
bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …)
dan bilangan nol. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal
atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang
bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika
dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman
untuk “bilangan”).
Sifat-sifat
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan
perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan
bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi
pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat
pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan
bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah
bilangan bulat negatif
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan
bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67
(pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat
menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan
bulat.
Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa
pemrograman
Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe
data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal
terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer
memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai
hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe
data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu
signed? Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda –
atau + di depan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu
kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini
disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun
memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman
Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga
dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.
●Bilangan riil
Dalam matematika, bilangan riil
atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal,
seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia,
bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,”
sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah
bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak
usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari
bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional,
seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan
dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi
popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional,
irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika
dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata
“Real”).
Sifat-sifat
Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya
bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga
Contoh:
2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah
bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.
2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah
bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)
2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah
bilangan riil positif
2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675
(pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat
menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan
bulat.
Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa
pemrograman
Bilangan riil (real atau floating point) merupakan
salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam
bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real. Dalam alokasi memori,
real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga”
didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign
nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar